Epistemologi Matematika

Kebenaran Spiritual dan Kebenaran Matematika

Manusia adalah makhluk yang selalu berusaha menemukan kebenaran. Beberapa cara ditempuh untuk memperoleh kebenaran, diantaranya adalah menggunakan rasio (rasionalis) dan juga menggunakan pengalaman (empiris). Dalam usaha mencari kebenaran tersebut, terkadang manusia melupakan hakikat kebenaran yang sebenarnya. Kata “kebenaran” sendiri memiliki pemaknaan yang berbeda-beda bagi tiap individu tergantung dari sudut pandangnya.

Kebenaran menurut matematika, mungkin akan berbeda dengan kebenaran menurut Islam. Hal ini dikarenakan matematika adalah ilmu pasti yang membutuhkan pembuktian dan kesepakatan. Sedangkan Islam meyakini segala sesuatu yang datangnya dari Allah adalah kebenaran. Ilmuwan yang mendalami matematika cenderung berpikir sesuatu secara ilmiah, logis, dan realistis. Berbeda dengan orang-orang yang mendalami spiritual yang cenderung mempercayai bahwa segala sesuatu di dunia ini tidak lepas dari pengaruh ghaib, mistis, dan bahkan susah dinalar manusia awam. Namun demikian, antara kedua sudut pandang tersebut terdapat keterkaitan yang signifikan. Jika pengetahuan matematika dan pengetahuan spiritual terkonvergensi dan bergabung akan menimbulkan interaksi menakjubkan. Interaksi ini pula yang melahirkan pengetahuan-pengetahuan populer dan digunakan untuk kemajuan peradaban manusia hingga saat ini (Rauff, 2000:58).

Secara epistemologis kebenaran adalah kesesuaian antara apa yang diklaim sebagai diketahui dengan kenyataan yang sebenarnya yang menjadi objek pengetahuan. Kebenaran terletak pada kesesuaian antara subjek dan objek, yaitu apa yang diketahui subjek dan realitas sebagaimana adanya (Sonny Keraf, 2002:66) matematika adalah ilmu yang menganut teori kebenaran sebagai Keteguhan. Teori ini dianut oleh kaum rasionalitas seperti Leibniz, Spinoza, Descartes, Heggel, dan lainnya. Kebenaran ditemukan dalam relasi antara proposisi baru dengan proposisi yang sudah ada. Suatu pengetahuan, teori, pernyataan, proposisi atau hipotesis dianggap benar kalau sejalan dengan pengetahuan, teori, proposisi atau hipotesis lainnya, yaitu kalau proposisi itu meneguhkan dan konsisten dengan proposisi sebelumnya yang dianggap benar. Matematika dan ilmu-ilmu pasti sangat menekankan teori kebenaran ini (Resnick, 1998).

Ada dua teori tentang kebenaran dalam Matematika, yaitu teori korespondensi dan teori koherensi.

a.    Teori Korespondensi

Teori korespondensi (the correspondence theory of truth) menunjukkan bahwa suatu pernyataan akan bernilai benar jika hal-hal yang terkandung di dalam pernyataan tersebut sesuai atau cocok dengan keadaan yang sesungguhnya. Contoh, “Semua manusia akan mati,” merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar karena kenyataannya memang demikian.

b.    Teori Koherensi

Teori koherensi menyatakan bahwa suatu kalimat akan bernilai benar jika pernyataan yang terkandung di dalam kalimat itu bersifat koheren, konsisten, atau tidak bertentangan dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya yang dianggap benar. Contohnya, pengetahuan Aljabar telah didasarkan pada pernyataan pangkal yang dianggap benar. Pernyataan yang dianggap benar itu disebut aksioma atau postulat.

Resnick (Resnick, 1998) menawarkan beberapa gagasan tentang kebenaran dalam matematika. Resnick melihat setidaknya terdapat dua aspek kebenaran matematika: kebenaran imanen dan kebenaran transenden ( Rauff, 2000:63). Kebenaran imanen dapat diartikan bahwa sebuah kebenaran yang hanya berlaku untuk pernyataan yang ada dalam lingkup matematika saja. Objek matematika diyakini kebenarannya dalam konteks matematika saja. Dengan kata lain, pernyataan yang diyakini benar secara matematika, belum tentu benar bila dilihat dari sudut pandang yang lain. Kebenaran ini tidak bergantung pada hal-hal, hubungan, atau pengamatan di luar bidang matematika (Rauff, 2000:64)

Kebenaran matematika imanen dapat dipertentangkan dengan kebenaran matematika transenden, yang mencari dukungan mengacu pada benda-benda fisik atau korespondensi antara objek matematika dan objek non-matematika. Kebenaran transenden matematika dibuktikan melalui eksperimen serta pembuktian. Sebagai contoh, sebagai kebenaran transenden matematika, 2 + 1 = 3 membuat pernyataan tentang jumlah orang di dalam mobil saya setelah saya dan anak saya bertemu dan menjemput istri saya. Kebenaran persamaan itu dikonfirmasi melalui korespondensi untuk dunia pengalaman saya. Saya telah mempelajari bahwa 2 + 1 = 3 adalah benar dalam kasus ini karena Saya memahami konsep dari himpunan dan beberapa prinsip-prinsip logika sederhana. Ini adalah kebenaran dalam konteks himpunan dan logika dan akan berlaku bagi siapa saja bersedia menerimanya (Rauff, 2000).

Refrensi :  

Imam Wahyudi, Refleksi Kebenaran Ilmu, Jurnal Filsafat, Desember 2004, Jilid 38, Nomor 3

Musrida, Irvan Jaya. 2010. Teori-Teori Kebenaran Filsafat. Jakarta : PT Gelora Aksara Pratama

https://elfalasy88.wordpress.com/tag/menentukan-kebenaran-dalam-matematika/

https://rendikwidiyanto.wordpress.com/2012/11/07/kebenaran-spiritual-dan-kebenaran-matematika/

Picture : Google.com

.

Hakikat Angka dan Bilangan

SEJARAH ANGKA DAN BILANGAN

Pada zaman ini, angka merupakan suatu hal yang sangat penting bagi kehidupan manusia. Contohnya, tanggal pada kalender, nilai nominal pada uang, dan banyak lagi.Bisakah anda bayangkan bagaimana dunia bila tidak ada angka? Pasti segala sesuatu akan menjadi sangat berantakan dan tidak teratur. Tapi, bagaimanakah sebenarnya sejarah munculnya angka tersebut?

Dalam penggunaan sehari-hari, angka dan bilangan seringkali dianggap sebagai dua hal yang sama. Sebenarnya, angka dan bilangan mempunyai pengertian yang berbeda. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sedangkan angka adalah suatu simbol atau lambang yang digunakan untuk mewakili satu bilangan. Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan dengan angka 5 maupun menggunakan angka romawi V. Lambang ”5” dan ”V” yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka.

Setiap bilangan, misalnya bilangan yang kita lambangkan dengan angka 1,  sesungguhnya adalah konsep abstrak yang tidak bisa tertangkap oleh indra manusia,  tetapi bersifat universal.  Misalnya, tulisan atau ketikan 1. Yang anda liat di kertas dan sedang anda baca saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan satu yang tertangkap oleh indera penglihatan anda berkat adanya pantulan cahaya dari kertas ke mata anda. Demikian pula bila anda melihat lambang yang sama di papan tulis, yang anda lihat bukanlah bilangan 1,  melainkan tinta dari spidol yang membentuk lambang dari bilangan 1. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irasional, dan lain-lain.

Bilangan asli merupakan salah satu konsepmatematika yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia. Bilangan asli terdiridari bilangan bulat positif yang bukan nol (1, 2, 3, 4,....). Wajar bila jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk menghitung ini tidak menggunakan nol. Karena sebenarnya dalam kehidupan sehari-hari kita tidak membutuhkan bilangan nol. Seperti dalam menghitung apel pada gambar di bawah, kita tidak menghitungnyadengan cara menghitung dari nol (nol apel, satu apel, dua apel, ....) melainkan dengan menghitung dari satu.

Kemungkinan terbesar manusia mulai menghitung adalah setelah bahasa berkembang. Saat itu jari-jari tangan merupakan alat hitung yang paling alami. Itulah sebabnya mengapa sistem perhitungan yang kita gunakan saat ini menggunakan bilangan berbasis 10. Untuk mencari bukti sejarah, ukiran pada batu atau kayu adalah solusi yang paling alami. Dari bukti sejarah, sistem hitung yang paling awal terdiri dari simbol berulang yang masing-masing terdiri dari sepuluh, yang diikuti oleh pengulangan simbol untuk satu. Untuk contoh pada angka-angka yang digunakan saat ini seperti 1 sampai 10, kemudian 11 (simbol bilangan satu diulang pada simbol bilangan sebelas sebagai penanda 11 adalah 10 + 1).

Angka Mesir (3000-1600 SM)

Di Mesir, sejak sekitar 3000 tahun sebelum masehi, bukti sejarah yang ditemukan menyebutkan bahwa satu disimbolkan sebagai garis vertikal, sedangkan 10 diwakilkan oleh lambang ^. Orang mesir menulis dari kanan ke kiri, jadi bilangan dua puluh tiga disimbolkan menjadi |||^^. 

Angka Babylonia (1750 SM)

Orang-orang Babylonia, menggunakan sistem bilangan berbasis 60. Sistem ini benar- benar sulit digunakan, karena secara logika seharusnya membutuhkan 59 simbol yang berbeda (sama seperti sistem desimal berbasis 10 saat inimempunyai simbol yang berbeda sampai 9). Sebaliknya, angka di bawah 60 dilambangkan dengan kelompok-kelompok sepuluh. Melalui keunggulan orang Babylonia pada bidang astronomi, sistem perhitungan berbasis 60 mereka masih ada sampai sekarang pada 60 detik dalam satu menit, dan pada pengukuran sudut, 180 derajat pada jumlah sudut segitiga dan 360 derajat pada sudut satu lingkaran. Dan jauh setelah itu, saat waktu bisa diukur dengan akurat, sistem yang sama juga digunakan dalam 60 menit dalam 1 jam

Angka Suku Maya

Suku maya, sama seperti suku Aztec, menggunakan sistem bilangan berbasis 20. Mereka menggunakan 3 set grafik notasi yang berbeda untuk mewakili angka:

a) Dengan titik dan garis,

b) Dengan figur antropomorfik, dan

c) dengan simbol.

Angka Romawi 300 SM

Angka romawi menggunakan sistem bilangan berbasis 5. Angka I dan V dalam angkaromawi terinspirasi dari bentuk tangan, yang merupakan alat hitung alami. Sedangkan angka X/ lambang dari 10, adalah gabungan dua garis miring yang melambangkan 5. Dan L, C, D,dan M, yang secara urut mewakili 50, 100, 500, dan 1.000, merupakan modifikasi dari simbol Vdan X

 Nol, Sistem Desimal , dan Angka Hindu-Arab (300 SM – sekarang)

Orang-orang India menggunakan lingkaran kecil saat tempat pada angka tidak mempunyai nilai, mereka menamai lingkaran kecil tersebut dengan nama sunya, diambil dari bahasa sansekerta yang berarti ”kosong”. Sistem ini telah berkembang penuh sekitar tahun 800 Masehi, saat sistem ini juga diadaptasi di Baghdad. Orang arab menggunakan titik sebagai simbol ”kosong”, dan memberi nama dengan arti yang sama dalam bahasa arab, sifr.

Sekitar dua abad kemudian angka India masuk ke Eropa dalam manuskrip Arab, dan dikenal dengan nama angka Hindu-Arab. Dan angka Arab sifr berubah menjadi ”zero”  dalam bahasa Eropa modern, atau dalam bahasa Indonesia, ”nol”. Tetapi masih perlu berabad-abadlagi sebelum ke-sepuluh angka Hindu-Arab secara bertahap menggantikan angka romawi di Eropa, yang diwarisi dari masa kekaisaran Roma.

Refrensi :
http://putrasaimima.blogspot.co.id/2011/12/sejarah-angka.html

Picture : Google.com